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hello 大家好

我是浩说

关于"最短路线"这个问题

我们生活中有一个典型应用:

使用导航软件帮我们规划从 出发地目的地最短路线

导航软件如何规划"最短路线"?

今天我们就来研究一下:导航软件如何计算"最短路线"

抽象

首先我们需要将导航软件中的地图抽象成一种数据结构:图

关于 图 的介绍,我用一张图片做简单说明

导航软件如何规划"最短路线"?

图 的更多详细内容兄弟们可以过一下我之前的这篇文章:

关于 图 的介绍

于是我们可以这样对应:

顶点 > 地图上的路口

> 两个路口间的道路

入度和出度 > 道路的方向

边的权重 > 两个路口间的距离

按照上面的思路我们抽象成图就是这样的:

导航软件如何规划"最短路线"?

数据结构是为算法服务的,我们将地图抽象成数据结构 图 之后,

下一步就是在该数据结构上设计出一种算法来计算出最短路线。

算法

针对求"最短路径"的场景,有一种经典的算法叫做:

"Dijkstra 算法"由荷兰计算机科学家 Edsger Wybe Dijkstra 在1956年发现

这也就是我们本篇的重点了,

算法问题很难用一两句话解释清楚,所以接下来我将分步骤拆解"应用Dijkstra 算法计算最短路径"的过程,

大家需要从过程中感受和体会Dijkstra 算法的思路和原理。

先将图中每个顶点用编号表示,目标就是计算顶点1到8的最短距离

导航软件如何规划"最短路线"?

接着我们准备两个数组:

一个数组存放图中除起点以外的所有顶点 V = {2,3,4,5,6,7,8}

另一个数组先存放起点 S = {1}

我们以起点1为原点,逐步统计其它顶点到原点的距离,无法直接到达的顶点距离用/表示

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导航软件如何规划"最短路线"?

统计结果如下:

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4:/

dist 1-5:200

dist 1-6:/

dist 1-7:/

dist 1-8:/

然后通过比较上面的结果选择最小的值,也就是dist 1-5,至此 "Dijkstra 算法"会暂时认定:

顶点1 到5 的最短距离为200。

此时将顶点5从数组V中移除,并添加至数组S

V = {2,3,4,6,7,8}

S = {1,5}

所以数组S中的顶点其实就是表示"已经找到从原点到对应顶点的最短距离"的顶点集。

经过此步骤后, "Dijkstra 算法"暂时认定找到了从原点1至顶点5的最短路径,我们用绿色表做标记。

导航软件如何规划"最短路线"?

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该步骤与上一步逻辑相同,但区别在于:

由于我们找到了到达顶点5的最短路径,所以之前无法到达的顶点(4、6),在该步骤就可以通过顶点5间接的到达了

导航软件如何规划"最短路线"?

于是再次统计距离

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-5 (200) + 5-6(310):510

dist 1-7:/

dist 1-8:/

除去已经被加入到数组S中的顶点,我们依然从剩下的距离中选出最短的,然后将该顶点从数组V移除并加入数组S

V = {3,4,6,7,8}

S = {1,5,2}

导航软件如何规划"最短路线"?

看到这里相信大家已经对"Dijkstra 算法"的逻辑有点感觉了,我们不妨简单梳理一下

"Dijkstra 算法"需要准备两个数组,一个存放从起点至终点涉及到的所有顶点,另一个存放已经确定最短路径的顶点,

然后从原点开始,循环查找至下一顶点距离最短的顶点并将其从V移除然后添加至S中,直至V中顶点全部添加至S中

当然,这其中还有一些细节需要注意,我们继续往下看。

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导航软件如何规划"最短路线"?

细节来了,注意看这里的顶点4,由于前两步我们打通了顶点2、5的最短距离,因此到达顶点4的路径有两条

dist 1-4 >

1-5 (200) + 5-4(260):460

1-2 (270) + 2-4(210):480

而此时"Dijkstra 算法"将取距离小的作为最终结果。

最终统计的距离

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-5 (200) + 5-6(310):510

dist 1-7:/

dist 1-8:/

距离最短的顶点为3:

V = {4,6,7,8}

S = {1,5,2,3}

导航软件如何规划"最短路线"?

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导航软件如何规划"最短路线"?

这一步顶点6和上一步顶点4出现了一样的情况,

由于我们打通了顶点3,所以到达顶点6的路径变成了两条

dist 1-6 >

1-5 (200) + 5-6(310):510

1-3 (300) + 3-6(180):480

依然选择距离短的作为最终结果。

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-3 (300) + 3-6(180):480

dist 1-7:/

dist 1-8:/

顶点4加入S:

V = {6,7,8}

S = {1,5,2,3,4}

导航软件如何规划"最短路线"?

看到这一步相信大家对"Dijkstra 算法"的逻辑和一些细节已经有了大体的感受,后面的步骤就很好理解了,我们继续往下看。

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导航软件如何规划"最短路线"?

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-3 (300) + 3-6(180):480

dist 1-7 > 1-4 (460) + 4-7(130):590

dist 1-8:/

顶点6加入S:

V = {7,8}

S = {1,5,2,3,4,6}

导航软件如何规划"最短路线"?

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导航软件如何规划"最短路线"?

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-3 (300) + 3-6(180):480

dist 1-7:1-4 (460) + 4-7(130):590

dist 1-8:1-6 (480) + 6-8(100):580

V = {7}

S = {1,5,2,3,4,6,8}

7

导航软件如何规划"最短路线"?

dist 1-2:270

dist 1-3:300

dist 1-4 > 1-5 (200) + 5-4(260):460

dist 1-5:200

dist 1-6 > 1-3 (300) + 3-6(180):480

dist 1-7:1-4 (460) + 4-7(130):590

dist 1-8:1-6 (480) + 6-8(100):580

V = {}

S = {1,5,2,3,4,6,8,7}

导航软件如何规划"最短路线"?

到这一步数组V已经为空,"Dijkstra 算法"就到此结束了。

兄弟们可能会有疑问,因为在下图中,由顶点7至顶点8这条路线并没有做判断,难道是"Dijkstra 算法"有问题吗?

我们回看一下刚才距离的计算结果

dist 1-7:1-4 (460) + 4-7(130):590

dist 1-8:1-6 (480) + 6-8(100):580

既然dist 1-7已经大于dist 1-8,

那么dist 1-7 + dist 7-8 必然是会大于dist 1-8的,所以这是符合逻辑的,无需再判断了。

到这里"Dijkstra 算法"就成功的帮我们规划出了最短路线:

dist 1-8 > 1-3 (300) + 3-6(180) + 6-8(100):580

导航软件如何规划"最短路线"?